圆锥曲线笔记
我的数学老师叫我们把立体几何学好就行了...圆锥曲线你不会别人也不会的QWQ...
圆锥曲线笔记
一、整体认知
圆锥曲线：椭圆/双曲线/抛物线 用途：几何直观+代数运算→天体/建筑/光学/工程
二、理论基础
- 统一定义：动点P，|PF|/d(P,l)=e（F=焦点，l=准线，e=离心率）
- 0<e<1→椭圆；e=1→抛物线；e>1→双曲线
- 几何生成：平面截圆锥面
- 截一侧（不过顶点）→椭圆（⊥轴→圆）
- 截两侧（不过顶点）→双曲线
- 平行母线（不过顶点）→抛物线
- 一般方程：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
- Δ=B²-4AC：Δ<0→椭圆型；Δ=0→抛物线型；Δ>0→双曲线型
三、三种曲线核心要点
（一）椭圆
- 定义：|PF₁|+|PF₂|=2a(2a>2c)
- 标准方程：
- 焦点x轴：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
- 焦点y轴：y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
- 核心关系：c²=a²-b²
- 性质：
- 对称：x轴、y轴、原点
- e=c/a(0<e<1)
- 准线：x=±a²/c（x轴焦点）
- 通径：2b²/a
- 焦点△面积：S=b²tan(θ/2)（θ=∠F₁PF₂）
- 光学性质：F₁发光→反射→F₂
（二）双曲线
- 定义：||PF₁|-|PF₂||=2a(0<2a<2c)
- 标准方程：
- 焦点x轴：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
- 焦点y轴：y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)
- 核心关系：c²=a²+b²
- 性质：
- 对称：x轴、y轴、原点
- e=c/a(e>1)
- 渐近线：y=±(b/a)x（x轴焦点）
- 准线：x=±a²/c
- 通径：2b²/a
- 光学性质：F₁发光→反射→反向延长线过F₂
（三）抛物线
- 定义：|PF|=d(P,l)(e=1)
- 标准方程（p>0）：
- 开口右：y²=2px，F(p/2,0)，准线x=-p/2
- 开口左：y²=-2px，F(-p/2,0)，准线x=p/2
- 开口上：x²=2py，F(0,p/2)，准线y=-p/2
- 开口下：x²=-2py，F(0,-p/2)，准线y=p/2
- 性质：
- 对称：对应坐标轴
- e=1
- 通径：2p
- 焦点弦：A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)→x₁x₂=p²/4，y₁y₂=-p²，|AB|=x₁+x₂+p=2p/sin²θ
- 光学性质：F发光→反射→平行对称轴；反之亦然
四、应用场景
- 平面几何：建筑（悬索桥→抛物线，椭圆拱）、机械造型、轨迹作图
- 解析几何：天体轨道（行星→椭圆，彗星→抛物线/双曲线）、斜抛运动→抛物线、定位（双曲线定位法）
五、解题方法
- 求曲线方程：
- 定义法：例：|PF₁|+|PF₂|=10，F₁(-3,0)F₂(3,0)→x²/25+y²/16=1
- 直接法：例：|PF|=d(P,l)，F(2,0)，l:x=-2→y²=8x
- 代入法：Q(x',y')∈圆x²+y²=1，P是Q关于A(2,3)对称点→(x-4)²+(y-6)²=1
- 弦长计算：
- 公式：|AB|=√(1+k²)·√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]
- 焦点弦公式：抛物线y²=4x，θ=60°→|AB|=16/3
- 位置关系：联立方程→Δ判断（Δ>0相交，Δ=0相切，Δ<0无交点）
- 其他题型：
- 中点弦：点差法→例：M(1,1/2)为中点→x+2y-2=0
- 最值：参数法→P(2cosθ,sinθ)到x+2y-4=0距离最小→(√2,√2/2)
- 定点定值：例：y²=4x过F(1,0)直线→1/|FA|+1/|FB|=1（定值）
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2025/12/5 18:54
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